3/2乗・2/3乗の計算 【計算尺の使い方20】


「計算尺の使い方」まとめ

D 尺、A 尺、K 尺の関係

二乗の計算二乗根の計算でも説明していますが、A 尺はD 尺と同じ幅に2 つの対数目盛を横に並べ、1 から 100 までの対数目盛を振った目盛りになります。
同様に、三乗の計算三乗根の計算でも説明していますが、K 尺はD 尺と同じ幅に3 つの対数目盛を横に並べ、1 から 1000 までの対数目盛を振った目盛りになります。

二乗・二乗根の計算ではD 尺とA 尺とを組み合わせることで計算をしました。また、三乗・三乗根の計算ではD 尺とK 尺とを組み合わせることで計算をしました。

ここでは、A 尺とK 尺を組み合わせることで2分の3乗、3分の2乗の計算方法を紹介します。

2分の3乗の計算方法

A 尺は2 つの対数目盛を並べた対数目盛になります。また、K 尺は3つの対数目盛を並べた対数目盛になります。
そのため、A 尺の目盛りに対してK 尺の目盛りは2分の3乗の関係にあります。この関係を利用して計算します。

位取りの方法

数値が簡単な場合は、二乗根の中の数値を概算で三乗して、その結果を「二乗根(ルート)の計算」で紹介した方法で位取りします。

また、少し複雑に思われるかもしれませんが、2分の3乗の計算では次のような位取りの計算方法もあります。

(1)まず2分の3乗を計算したい数について、「二乗根(ルート)の計算」で紹介した使い分けの方法で \(A_1\) 尺(A 尺の1 から 10までの範囲)と \(A_2\) 尺(A 尺の10 から 100までの範囲)のどちらを使うか判断します。

(2)計算したい数を10 の指数表記にして桁が10 の nだったとき、つまり数を \(M \times 10^n \) と表記したとき・・・

① \(A_1\) 尺を使って答が \(K_1\) 尺に出た場合、答の10 の指数は \( \large n \times \frac{3}{2}\)
② \(A_1\) 尺を使って答が \(K_2\) 尺に出た場合、答の10 の指数は \( \large n \times \frac{3}{2} + 1\)
③ \(A_2\) 尺を使って答が \(K_2\) 尺に出た場合、答の10 の指数は \( \large n \times \frac{3}{2}  –  \frac{1}{2}\)
④ \(A_2\) 尺を使って答が \(K_3\) 尺に出た場合、答の10 の指数は \( \large n \times \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\)

計算例1 \( \sqrt{ 322^3 }\)

(1)最初に  \(A_1\) 尺と \(A_2\) 尺のどちらを使うべきかを判断します。
「二乗根(ルート)の計算」で紹介した方法によって、322 の場合は \(A_1\) 尺(A 尺の1 から 10までの範囲)を使います。

(2)\( 322 = 3.22 \times 10^2\) として、\(A_1\) 尺の「3.22」にカーソル線を合わせます。

(3)そのままK 尺を見ます。カーソル線が\(K_1\) 尺上(K 尺の1 から 10までの範囲)に答の「5.78」を示します。

(4)位取りをします。
この計算では、\(A_1\) 尺を使って答が \(K_1\) 尺上に出たので、上で紹介した方法の ① を使って位取りをします。
元の数の10 の指数が \( 322 = 3.22 \times 10^2\) より 2 なので、計算結果の10 の指数は
$$ 2 \times \frac{3}{2} = 3 $$
となります。計算尺で得た数値は(3)より「5.78」だったので、この計算の答は\( 5.78 \times 10^3 = 5780\) となります。

計算例2 \( \sqrt{ 0.477^3 }\)

(1)最初に  \(A_1\) 尺と \(A_2\) 尺のどちらを使うべきかを判断します。
「二乗根(ルート)の計算」で紹介した方法によって、0.477 の場合は \(A_2\) 尺(A 尺の10 から 100までの範囲)を使います。

(2)\(A_2\) 尺の「47.7」にカーソル線を合わせます。

(3)そのままK 尺を見ます。カーソル線が\(K_3\) 尺上(K 尺の100 から 1000までの範囲)に答の「329」を示します。

(4)位取りをします。
この計算では、\(A_2\) 尺を使って答が \(K_3\) 尺上に出たので、上で紹介した方法の ④ を使って位取りをします。
元の数の10 の指数が \( 0.477 = 4.77 \times 10^{-1}\) より -1 なので、計算結果の10 の指数は
$$ -1 \times \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1 $$
となります。計算尺で得た数値は(3)より「329」だったので、この計算の答は\( 3.29 \times 10^{-1} = 0.329\) となります。

3分の2乗の計算方法

A 尺の目盛りとK 尺の目盛りを 2分の3乗の場合と逆に考えます。
K 尺の目盛りに対してA 尺の目盛りは3分の2乗の関係にあります。この関係を利用して計算することになります。

位取りの方法

三乗根の中の数値を概算で二乗して、その結果を「三乗根の計算」で紹介した方法で位取りします。

計算例3 \( \sqrt[3]{ 7100^2 }\)

(1)最初に  \(K_1\) 尺、\(K_2\) 尺、\(K_3\) 尺のどの目盛りを使うべきかを判断します。
「三乗根の計算」で紹介した方法によって、7100 の場合は \(K_1\) 尺(K 尺の1 から 10までの範囲)を使います。

(2)\( 7100 → 7.10 \times 10^3\) として、\(K_1\) 尺の「7.10」にカーソル線を合わせます。

(3)そのままA 尺を見ます。カーソル線が\(A_1\) 尺上(A 尺の1 から 10までの範囲)に答の「3.69」を示します。

(4)位取りをします。
\( 7100 → 7 \times 10^3\) としてこの数値を二乗すると、\( (7 \times 10^3)^2 = 7^2 \times 10^{3 \times 2}\) \(= 49 \times 10^6 = 4.9 \times 10^7\) となります。これを「三乗根の計算」で紹介した方法で位取りすると、答は100 の位の数になることがわかります。計算尺で得た数値は(3)より「3.69」だったので、この計算の答は 369 となります。

計算例4 \( \sqrt[3]{ 0.016^2 }\)

(1)最初に  \(K_1\) 尺、\(K_2\) 尺、\(K_3\) 尺のどの目盛りを使うべきかを判断します。
「三乗根の計算」で紹介した方法によって、0.016 の場合は \(K_2\) 尺(K 尺の10 から 100までの範囲)を使います。

(2)\(K_2\) 尺の「16」にカーソル線を合わせます。

(3)そのままA 尺を見ます。カーソル線が\(A_1\) 尺上(A 尺の1 から 10までの範囲)に答の「6.34」を示します。

(4)位取りをします。
\( 0.016 → 2 \times 10^{-2}\) としてこの数値を二乗すると、\( (2 \times 10^{-2})^2 = 2^2 \times 10^{-2 \times 2}\) \(= 4 \times 10^{-4} \) となります。これを「三乗根の計算」で紹介した方法で位取りすると、答の数値は小数点以下第 2 位から始まることがわかります。計算尺で得た数値は(3)より「6.34」だったので、この計算の答は 0.0634 となります。

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